Je suis actuellement en thèse sous la direction de Johannes Huisman et Roland Gautier au sein du laboratoire de mathématiques (laboratoire principal) et du LaBSTICC (laboratoire secondaire) de Brest à l’école doctorale SICMA de l’Université de Bretagne Occidentale.

Mon sujet de thèse est « Codes correcteurs d’erreurs convolutifs non commutatifs » et est financé par la région Bretagne.

Résumé

Les divers moyens de communication numérique modernes nécessitent des codes correcteurs performants. Rappelons qu’un code correcteur d’erreurs rajoute de la redondance à un message afin de pouvoir reconstituer, ou décoder celui-ci lorsque des erreurs se sont introduites pendant la transmission. La performance du code se mesure par le taux d’information, la capacité de correction, et la complexité du décodeur; le code idéal possède un taux d’information proche de 1, c’est-à-dire qu’il rajoute relativement peu de redondance à un message, pour une capacité de correction maximale, tout en admettant un décodage peu coûteux en temps et matériel. Les codes convolutifs sont des codes performants, et sont par conséquent fortement utilisés. On les rencontre, entre autres, dans les protocoles de communication mobile GSM, UMTS et LTE, mieux connu sous les sigles 2G, 3G et 4G, ou encore les communications sans fil WIFI 802.11.

Le principe des codes convolutifs est le suivant. On se fixe une fonction de transfert, c’est-à-dire une fonction binaire à support fini définie sur le groupe des entiers relatifs. Le codage d’un message, c’est-à-dire d’une suite de bits, se fait alors par produit de convolution avec la fonction de transfert (voir [1], chapitre 3).

Dans cette thèse, on se propose d’étudier les généralisations des codes convolutifs qu’on obtient si on remplace le groupe des entiers relatifs par un groupe plus compliqué. On peut penser notamment aux groupes linéaires non commutatifs sur un corps fini. Pour construire un tel code convolutif généralisé, il faut choisir un groupe fini et une fonction de transfert définie sur le groupe en question. Pour pouvoir coder un message, il faut, de plus, choisir une fonction définie sur l’ensemble des entiers relatifs et à valeurs dans le groupe choisi. On y pense comme une fonction qui « enroule » l’ensemble des entiers relatifs sur le groupe, l’analogue discret d’une courbe paramétrée, et on la veut « ergodique ».

Le codage d’un message se fait de la façon suivante. On découpe en blocs le message à coder de telle sorte que la fonction d’enroulement soit injective sur chaque bloc. Un bloc définit alors une fonction binaire sur un sous-ensemble du groupe, qu’on étend par zéro au groupe entier pour le premier bloc. Le bloc codé s’obtient en déroulant le produit de convolution de la fonction binaire associée et la fonction de transfert. Concrètement, ce codage revient essentiellement à convoluer le train binaire avec une fonction de transfert classique mais qui dépend du temps. Par rapport à ce point de vue, la dépendance temporelle de la fonction de transfert classique est gouvernée par la topologie du groupe choisi et de la fonction d’enroulement.

Lorsque le groupe est commutatif, les codes ainsi obtenus seront semblables aux codes convolutifs à blocs [2] ou tressés [3]. Les codes seront d’autant plus intéressants lorsque le groupe est non commutatif, et auront à la fois des propriétés de correction d’erreurs et des propriétés cryptographiques. Si, de plus, le groupe est un groupe algébrique linéaire sur un corps, on dispose d’un relèvement explicite en caractéristique zéro ce qui facilitera la construction des fonctions d’enroulement.

L’objectif de la thèse est de développer des algorithmes de décodage pour ces codes convolutifs non commutatifs en s’inspirant des algorithmes classiques comme celui de Viterbi ou le décodage séquentiel, et d’analyser leur performance.

Références

[1] André Neubauer et al.: Coding Theory: algorithms, Architectures, and Applications, Wiley 2007
[2] Axel Huebner et al.: Laminated turbo codes: a new class of block-convolutional codes. IEEE Trans. Inform. Theory 54(7) (2008), 3024 – 3034
[3] Zhang Wei et al.: Braided Convolutional Codes: A New Class of Turbo-Like Codes. Information Theory, IEEE Transactions 56(1) (2010), 316 – 331

Universitaires

  • Réalisation en Master 1 d’un solveur de sudoku à tailles variables en C (environ 1500 lignes de code)
  • TER de Master 1 sur le décodage des codes de Reed-Solomon avec réalisation d’un programme en Pari/GP
  • Projet de Master 2 sur le cryptosystème NTRU, basé sur les réseaux euclidiens avec également la réalisation d’un programme de chiffrement/déchiffrement et de signature en Pari/GP

Professionnelles

  • Avril 2011 – Septembre 2011 : Stage de fin d’études à la DGA MI à Bruz (35) sur la reconstruction d’un brasseur synchrone à partir d’une étude statistique

 

 

2009 – 2011 : Master Recherche mention Mathématiques spécialité Cryptologie
et Sécurité Informatique à l’Université Bordeaux 1
       Mention très bien

Logo Université Bordeaux 1

  1. S7 : Réseaux – Arithmétique – Programmation – TER – Anglais – Analyse de Fourier
  2. S8 : Administration des réseaux – Cryptologie - Algèbre et Calcul Formel – Théorie de l’Information – Courbes Elliptiques
  3. S9 : Algorithmique – Cryptanalyse – Théorie de la complexité – Sécurité des réseaux – Sécurité des systèmes d’exploitation et des langages
  4. S10 : Stage de recherche – Projet – Cartes à puce

2006 – 2009 : Licence de Mathématiques à l’Université de Pau et des Pays de l’Adour
       Mention très bien

  1. S1 : Cinétique, Atomes, Molécule – Introduction à l’Informatique – Mathématiques Générales 1 – Mathématiques Générales 2 – Thermodynamique – Grands défis scientifiques – Outils Bureautiques – Compléments de Maths 1
  2. S2 : Analyse 1 – Algèbre 1 – Algorithmique et programmation – Anglais – Introduction aux systèmes d’exploitation – Compléments de Maths 2 – Introduction à la géométrie analytique
  3. S3 : TIC – Anglais – Analyse 2 – Algèbre 2 – Introduction au Calcul Scientifique – Analyse 3 – Introduction aux probabilités
  4. S4 : Anglais – Analyse 4 – Algèbre 3 – Calcul scientifique - Introduction au réseau de l’Internet – Algèbre 4 – Introduction à la modélisation statistique
  5. S5 : Espaces vectoriels normés – Intégration – Algèbre 5 – Oraux de mathématiques – Programmation linéaire – Compléments de Maths 3 – Anglais
  6. S6 : Analyse numérique – Théorie des probabilités – Théorie du Calcul Différentiel - Équations différentielles – Introduction à la variable complexe – Initiation aux bases de données

2006 : Baccalauréat Scientifique au lycée Charles Despiau de Mont de Marsan (40)
       Mention assez bien

Programmation

  • Connaissance des langages C et Java
  • Outils de développement : Eclipse, Makefile, GCC, GDB, Valgrind, SVN
  • Développement Web : HTML, CSS, PHP, bases de données

Réseaux

  • Administration et sécurité des réseaux sous Linux Ubuntu

Mathématiques

  • Maîtrise des logiciels Matlab, Maple, Pari/GP, Magma
  • Cryptologie symétrique / asymétrique
  • Cryptanalyse
  • Théorie de l’Information
  • Courbes Elliptiques
  • Chiffrement par flot – LFSR
  • Théorie de la complexité
  • Preuves de sécurité
  • Cartes à puces

A venir …

Laboratoire de Mathématiques
UFR Sciences et Techniques
Bat C – 3ème étage
Bureau C302

6, avenue Victor Le Gorgeu
CS 93837
29238 Brest cedex 3
France

Tel : 02 98 01 72 85